Question

6．三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長郡相等，∠A₁AB=∠A₁AC=120°，則AB₁與BC₁所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 0

Answer 1

分析 先選一組基底，再利用向量加法和減法的三角形法則和平行四邊形法則將兩條異面直線的方向向量用基底表示，最后利用夾角公式求異面直線AB₁與BC₁所成角的余弦值即可．

解答 解：如圖，設(shè)$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$，棱長均為1，∵∠A₁AB=∠A₁AC=120°，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$=-$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=-$\frac{1}{2}$，
∵$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}_{1}}$=$\overrightarrow-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$，
∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$+${\overrightarrow{c}}^{2}$
=$\frac{1}{2}$-1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}+1$=0，
∴cos＜$\overrightarrow{A{B}_{1}}，\overrightarrow{B{C}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{B{C}_{1}}}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$=0．
∴異面直線AB₁與BC₁所成角的余弦值為0．
故選：D．

點評 本題主要考查了空間向量在解決立體幾何問題中的應(yīng)用，空間向量基本定理，向量數(shù)量積運算的性質(zhì)及夾角公式的應(yīng)用，有一定的運算量．