Question

2．過函數(shù)y=$\sqrt{x}$+$\frac{1}{x}$圖象上的點(diǎn)（1，2）作函數(shù)圖象的切線，則切線方程為x+2y-5=0或0.1x-y+1.9=0．

Answer 1

分析 求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，求得切線的斜率，可得切線的方程，代入點(diǎn)（1，2），求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可得切線的方程．

解答 解：函數(shù)y=$\sqrt{x}$+$\frac{1}{x}$的導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
設(shè)切點(diǎn)為（m，n），n=$\sqrt{m}$+$\frac{1}{m}$，
切線的斜率為k=$\frac{1}{2\sqrt{m}}$-$\frac{1}{{m}^{2}}$，
可得切線的方程為y-（$\sqrt{m}$+$\frac{1}{m}$）=（$\frac{1}{2\sqrt{m}}$-$\frac{1}{{m}^{2}}$）（x-m），
代入點(diǎn)（1，2），可得2-（$\sqrt{m}$+$\frac{1}{m}$）=（$\frac{1}{2\sqrt{m}}$-$\frac{1}{{m}^{2}}$）（1-m），
令t=$\sqrt{m}$（t＞0），即有-t⁵+4t⁴-t³-4t²+2=0，
化簡(jiǎn)為（t-1）²（-t³+2t²+4t+2）=0，
解得t=1或-t³+2t²+4t+2=0，
設(shè)f（t）=-t³+2t²+4t+2，
f′（t）=-3t2+4t+4=-（t-2）（3t+2），
當(dāng)t＞2時(shí)，f（t）遞減，
由f（3）＞0，f（4）＜0，
f（3.5）＜0，可得f（t）在（3，3.5）有一零點(diǎn)，
又f（3.25）＞0，即有f（t）在（3.25，3.5）有一個(gè)零點(diǎn)，
可得f（t）的零點(diǎn)為3.36，
即$\sqrt{m}$=3.36，k=0.1，
綜上可得，切線的斜率為-$\frac{1}{2}$或0.1，
切線的方程為y-2=-$\frac{1}{2}$（x-1）或y-2=0.1（x-1）．
即為x+2y-5=0或0.1x-y+1.9=0．
故答案為：x+2y-5=0或0.1x-y+1.9=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，確定切點(diǎn)和正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．