Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$在區(qū)間（a，a+$\frac{2}{3}$）（a＞0）上存在極值，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，1）
• B． （$\frac{1}{3}$，1）
• C． （$\frac{1}{2}$，1）
• D． （$\frac{2}{3}$，1）

Answer 1

分析 求導函數(shù)，求出函數(shù)的極值點，利用函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，a+$\frac{2}{3}$）上存在極值點，建立不等式，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，x＞0，
∴f′（x）=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=1，
當f′（x）＞0，即0＜x＜1，函數(shù)單調遞增，
當f′（x）＜0，即x＞1，函數(shù)單調遞減，
∴1是函數(shù)的極值點，
∵函數(shù)f（x）區(qū)間（a，a+$\frac{2}{3}$）（a＞0）上存在極值，
∴a＜1＜a+$\frac{2}{3}$
∴$\frac{1}{3}$＜a＜1．
故選：B．

點評 本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查函數(shù)的極值，考查學生的計算能力，屬于中檔題．