Question

8．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≥0}\\{-{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，則不等式f（3x²+a）＞4f（x）對x∈R恒成立，則a的取值范圍是（$\frac{1}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 判斷函數(shù)的單調(diào)性利用函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可．

解答 解：當x≥0時，f（x）=x²，此時函數(shù)為增函數(shù)，且f（x）=x²≥0，
當x＜0時，f（x）=-x²，此時函數(shù)為增函數(shù)，且f（x）=-x²＜0，
綜上函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，
則不等式f（3x²+a）＞4f（x）對x∈R恒成立等價為f（3x²+a）＞f（2x），
即3x²+a＞2x，
即a＞-3x²+2x，
設(shè)g（x）=-3x²+2x，
則g（x）=-3x²+2x=-3（x-$\frac{1}{3}$）²+$\frac{1}{3}$≤$\frac{1}{3}$，
則a＞$\frac{1}{3}$，
故答案為：（$\frac{1}{3}$，+∞）

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，根據(jù)分段函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用參數(shù)分離法是解決本題的關(guān)鍵．