Question

12．已知函數(shù)f（x）=2acos²ωx+2sinωxcosωx．（ω＞0）
（1）若f（x）的最大值為$\sqrt{2}-1$，求實數(shù)a的值．
（2）在條件（1）下，把f（x）圖象上的點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，可得函數(shù)y=$\sqrt{2}$sin（$\frac{2}{3}$x-$\frac{π}{4}$）-1的圖象，求ω的值；
（3）若$ω=\frac{1}{2}$，圖象關(guān)于直線x=$\frac{5}{3}$π對稱，求函數(shù)y=cosx+asinx的對稱軸．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式和輔助角公式化簡f（x），根據(jù)最值列出方程，解出a；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)律得出變換之后的函數(shù)解析式，由x的系數(shù)對應(yīng)相等得出ω；
（3）利用輔助角公式化簡y=cosx+asinx，得出f（x）中的輔助角與新函數(shù)輔助角的關(guān)系，利用誘導(dǎo)公式得出新函數(shù)的對稱中心，結(jié)合周期得到對稱軸方程．

解答 解：（1）f（x）=a（1+cos2ωx）+sin2ωx=$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin（2ωx+φ）+a，
∴f_max（x）=$\sqrt{{a}^{2}+1}$+a=$\sqrt{2}-1$，∴a=-1．
（2）由（1）得f（x）=sin2ωx-cos2ωx-1=$\sqrt{2}$sin（2ωx-$\frac{π}{4}$）-1．
∴把f（x）圖象上的點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變得到y(tǒng)=$\sqrt{2}$sin[2ω•$\frac{x}{3}$-$\frac{π}{4}$]-1=$\sqrt{2}$sin（$\frac{2}{3}$ωx-$\frac{π}{4}$）-1．
∴$\frac{2ω}{3}$=$\frac{2}{3}$，ω=1．
（3）當(dāng)ω=$\frac{1}{2}$時，f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin（x+φ）+a，（sinφ=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$，cosφ=$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$），∴f（x）的周期為2π．
∵圖象關(guān)于直線x=$\frac{5}{3}$π對稱，∴sin（$\frac{5π}{3}+$φ）=±1．∴sin（φ-$\frac{π}{3}$）=±1，∴cos（$\frac{π}{3}-$φ）=0．
∵y=cosx+asinx=$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin（x+α），（cosα=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$，sinα=$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$）．
∴α+φ=$\frac{π}{2}$，∴y=cosx+asinx=$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin（x+α）=$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin（x+$\frac{π}{2}$-φ）=$\sqrt{{a}^{2}+1}$cos（x-φ）．
∵cos（$\frac{π}{3}-$φ）=0．∴（$\frac{π}{3}$，0）是y=cosx+asinx的一個對稱中心，
又∵y=cosx+asinx的周期為2π，∴y=cosx+asinx的對稱軸為x=$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{2}$+kπ=$\frac{5π}{6}$+kπ．k∈Z．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，輔助角公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)的圖象變換，屬于中檔題．