Question

17．已知函數(shù)f（x）=ax-$\frac{3}{2}$x²（x∈R），數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n．
（1）當(dāng)a=2時，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，且S₂=$\frac{9}{8}$，求a₁、a₂；
（2）當(dāng)a=1時，數(shù)列{b_n}滿足b_n+1=f（b_n），0＜b₁＜$\frac{1}{2}$，證明b_n＜$\frac{1}{n+1}$，n∈N^*．

Answer 1

分析 （1）a=2時，a_n+1=f（a_n）=2a_n-$\frac{3}{2}{a}_{n}^{2}$，且S₂=$\frac{9}{8}$，取n=1即可得出．
（2）當(dāng)a=1時，數(shù)列{b_n}滿足b_n+1=f（b_n），可得b_n+1=b_n-$\frac{3}{2}_{n}^{2}$=$-\frac{3}{2}（_{n}-\frac{1}{3}）^{2}$+$\frac{1}{6}$．利用數(shù)學(xué)歸納法與二次函數(shù)的單調(diào)性即可證明．

解答 （1）解：a=2時，a_n+1=f（a_n）=2a_n-$\frac{3}{2}{a}_{n}^{2}$，且S₂=$\frac{9}{8}$，
∴a₂=$2{a}_{1}-\frac{3}{2}{a}_{1}^{2}$，a₁+a₂=$\frac{9}{8}$，
解得a₁=$\frac{1}{2}$，a₂=$\frac{3}{2}$，或a₁=$\frac{3}{2}$，a₂=$\frac{1}{2}$．
（2）證明：當(dāng)a=1時，數(shù)列{b_n}滿足b_n+1=f（b_n），
∴b_n+1=b_n-$\frac{3}{2}_{n}^{2}$=$-\frac{3}{2}（_{n}-\frac{1}{3}）^{2}$+$\frac{1}{6}$．
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時，∵0＜b₁＜$\frac{1}{2}$，∴b₁$＜\frac{1}{1+1}$，成立．
當(dāng)n=2時，b₂=-$\frac{3}{2}（_{1}-\frac{1}{3}）^{2}$+$\frac{1}{6}$＜$\frac{1}{6}$＜$\frac{1}{3}$，成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k∈N^*（k≥2）時，b_k＜$\frac{1}{k+1}$．
則當(dāng)n=k+1時，b_k+1=$-\frac{3}{2}（_{k}-\frac{1}{3}）^{2}$+$\frac{1}{6}$＜$-\frac{3}{2}$$（\frac{1}{k+1}-\frac{1}{3}）^{2}$+$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{k+1}$$（1-\frac{3}{2k+2}）$＜$\frac{1}{k+2}$，
∴當(dāng)n=k+1時也成立．
綜上可得：?n∈N^*，b_n＜$\frac{1}{n+1}$，成立．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)學(xué)歸納法、二次函數(shù)的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．