Question

2．如圖．已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=$\frac{1}{2}$CD，M是的CD的中點(diǎn)．N是AC與BM的交點(diǎn)，將△BCM沿BM向上翻折成△BPM，使平面BPM⊥平面ABMD
（I）求證：AB⊥PN．
（Ⅱ）若E為PA的中點(diǎn)．求證：EN∥平面PDM．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AM，則可證△BCM為等邊三角形，從而PN⊥BM，由面面垂直得出PN⊥平面ABMD，故而PN⊥AB；
（2）連結(jié)PC，由中位線定理得EN∥PC，故而EN∥平面PDM．

解答 證明：（1）連結(jié)AM，
∵M(jìn)是的CD的中點(diǎn)，AB=$\frac{1}{2}$CD，AB∥CD，
∴四邊形ABCM是平行四邊形，四邊形ABMD是平行四邊形，
∴N是BM的中點(diǎn)，BM=AD，又∵AD=BC，
∴△BCM是等邊三角形，即△PBM是等邊三角形．
∴PN⊥BM，∵平面PBM⊥平面ABMD，平面PBM∩平面ABMD=BM，PN?平面PBM，
∴PN⊥平面ABMD，∵AB?平面ABMD，
∴AB⊥PN．
（2）連結(jié)PC，∵E是PA的中點(diǎn)，N是AC的中點(diǎn)，
∴EN∥PC，
∵PC?平面PDM，EN?平面PDM，
∴EN∥平面PDM．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判斷與性質(zhì)，線面平行的判定，面面垂直的性質(zhì)，屬于中檔題．