Question

12．如圖，在△ABC中，|AB|=4，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為線段AB垂直平分線上的一點(diǎn)，且|DE|=3，固定邊AB，在平面ABD內(nèi)移動(dòng)頂點(diǎn)C，使得△ABC的內(nèi)切圓始終與AB切于線段BE的中點(diǎn)，且C、D在直線AB的同側(cè)，在移動(dòng)過程中，當(dāng)|CA|+|CD|取得最小值時(shí)，點(diǎn)C到直線DE的距離為$2\sqrt{15}-6$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，以AB所在直線為x軸，ED所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，利用圓的切線的性質(zhì)求得C的軌跡為${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$（x＞0），再利用雙曲線定義把|CA|+|CD|取得最小值轉(zhuǎn)化為|CB|+|CD|取最小值，可得C的位置，寫出BD所在直線方程，聯(lián)立直線方程與雙曲線方程求得C的坐標(biāo)得答案．

解答 解：如圖，以AB所在直線為x軸，ED所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系
則A（-2，0），B（2，0），D（0，3），
設(shè)△ABC的內(nèi)切圓切AC、AB、BC分別于G、H、F，
則|CA|-|CB|=|AG|-|BF|=|AH|-|HB|=2＜4，
∴C點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，
且a=1，c=2，b²=c²-a²=3，
∴C的軌跡方程為${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$（x＞0）．
∵|CA|-|CB|=2，
∴|CA|=|CB|+2，
則|CA|+|CD|=|CB|+|CD|+2，
則當(dāng)C為線段BD與雙曲線右支的交點(diǎn)時(shí)，|CA|+|CD|最小，
BD所在直線方程為$\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1$，即3x+2y-6=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{3x+2y-6=0}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得${x}_{C}=2\sqrt{15}-6$．
∴點(diǎn)C到直線DE的距離為$2\sqrt{15}-6$．
故答案為：$2\sqrt{15}-6$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．