Question

14．如圖，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=$\frac{1}{2}$AP=2，D是AP的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別為PC、PD、CB的中點(diǎn)，將△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD．

（1）求證：平面PCD⊥平面PAD；
（2）求面GEF與面EFD所成銳二面角的大�。�

Answer 1

分析 （1）由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥CD，又CD⊥AD，可得CD⊥平面PAD，利用面面垂直的判定定理即可證明；
（2）如圖以D為原點(diǎn)，以DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz．不妨設(shè)AB=BC=$\frac{1}{2}AP$=2．則G（1，2，0），E（0，1，1），F(xiàn)（0，0，1），
$\overrightarrow{EF}$=（0，-1，0），$\overrightarrow{EG}$=（1，1，-1）．設(shè)平面EFG的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EG}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$，利用法向量的夾角即可得出．

解答 （1）證明：∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥CD，
∵CD⊥AD，PD∩AD=D．
∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAD．
（2）解：如圖以D為原點(diǎn)，以DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz．
不妨設(shè)AB=BC=$\frac{1}{2}AP$=2．則G（1，2，0），E（0，1，1），F(xiàn)（0，0，1），
$\overrightarrow{EF}$=（0，-1，0），$\overrightarrow{EG}$=（1，1，-1）．
設(shè)平面EFG的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EG}=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{-y=0}\\{x+y-z=0}\end{array}\right.$，令x=1，解得z=1，y=0，
∴$\overrightarrow{n}$=（1，0，1）為平面PCD的一個(gè)法向量，
$\overrightarrow{DA}$=（1，0，0）．
∴$cos＜\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{n}＞=\frac{\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{DA}||\overrightarrow{n}|}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴面GEF與面EFD所成銳二面角的大小45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理，考查了通過建立空間直角坐標(biāo)系利用平面的法向量的夾角得出二面角的方法，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．