Question

7．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x+5|，且f（x）≥m恒成立．
（Ⅰ）求m的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)m取最大值時(shí)，解關(guān)于x的不等式：|x-3|-2x≤2m-8．

Answer 1

分析 對(duì)第（1）問，由m≤f（x）恒成立知，m≤f（x）_min，只需求得f（x）的最小值即可．
對(duì)第（2）問，先將m的值代入原不等式中，再變形為|x-3|≤4+2x，利用“|g（x）|≤h（x）?-h（x）≤g（x）≤h（x）”，可得其解集．

解答 解：（Ⅰ）要使f（x）≥m恒成立，只需m≤f（x）_min．
由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，有|2x-1|+|2x+5|≥|（2x-1）+（2x+5）|=6，
即f（x）_min=6，所以m≤6．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，m=6，所以原不等式化為|x-3|-2x≤4，即|x-3|≤4+2x，
得-4-2x≤x-3≤4+2x，轉(zhuǎn)化為$\left\{\begin{array}{l}{-4-2x≤x-3}\\{x-3≤4+2x}\end{array}\right.$，
化簡(jiǎn)，得$\left\{\begin{array}{l}{x≥-\frac{1}{3}}\\{x≥-7}\end{array}\right.$，所以原不等式的解集為$\{x|x≥-\frac{1}{3}\}$．

點(diǎn)評(píng) 本題屬不等式恒成立問題，較為基礎(chǔ)，主要考查了含絕對(duì)值不等式的解法，利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求最值等，求解此類問題時(shí)，應(yīng)掌握以下幾點(diǎn)：
1．若m≤f（x）恒成立，只需m≤[f（x）]_min；若m≥f（x）恒成立，只需m≥[f（x）]_max．
2．|g（x）|≤h（x）?-h（x）≤g（x）≤h（x），|g（x）|≥h（x）?g（x）≥h（x），或g（x）≤-h（x）．