Question

17．已知x＞0，y＞0，2x+y=2，求$\frac{4}{x}$+$\frac{1}{y}$的最小值．

Answer 1

分析 由題意可得$\frac{4}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{4}{x}$+$\frac{1}{y}$）（2x+y）=$\frac{1}{2}$（9+$\frac{4y}{x}$+$\frac{2x}{y}$），由基本不等式可得．

解答 解：∵x＞0，y＞0，2x+y=2，
∴$\frac{4}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{4}{x}$+$\frac{1}{y}$）（2x+y）
=$\frac{1}{2}$（9+$\frac{4y}{x}$+$\frac{2x}{y}$）
≥$\frac{1}{2}$（9+2$\sqrt{\frac{4y}{x}•\frac{2x}{y}}$）=$\frac{9+4\sqrt{2}}{2}$
當且僅當$\frac{4y}{x}$=$\frac{2x}{y}$即x=$\frac{8-2\sqrt{2}}{7}$且y=$\frac{4\sqrt{2}-2}{7}$時取等號，
∴$\frac{4}{x}$+$\frac{1}{y}$的最小值為：$\frac{9+4\sqrt{2}}{2}$

點評 本題考查基本不等式求最值，1的代換是解決問題的關鍵，屬基礎題．