Question

14．己知拋物線C₁：x²=2py（p＞0）與圓C₂：x²+y²=5的兩個交點之間的距離為4．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）設過拋物線C₁的焦點F且斜率為k的直線與拋物線交于A，B兩點，與圓C₂交于C，D兩點，當k∈[0，1]時，求|AB|•|CD|的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用圓C₁：x²+y²=5與拋物線C₂：x²=2py（p＞0）在第一象限內的交點為R（2，m），即可求m的值及拋物線C₂的方程；
（Ⅱ）直線的方程為y=kx+1，分別于拋物線、圓的方程聯(lián)立，求出|AB|，|CD|，利用k∈[0，1]時，即可求|AB|•|CD|的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意，設拋物線C₁：x²=2py（p＞0）與圓C₂：x²+y²=5在第一象限內的交點為R（2，m），
∴4+m²=5，
∵m＞0，
∴m=1，
將（2，1）代入x²=2py，可得p=2；
（Ⅱ）拋物線C₁的方程為x²=4y．直線的方程為y=kx+1，
聯(lián)立x²=4y可得x²-4kx-4=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=-4k，x₁x₂=-4
聯(lián)立x²+y²=5可得（1+k²）x²+2kx-4=0，
設C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
∴x₃+x₄=-$\frac{2k}{1+{k}^{2}}$，x₃x₄=-$\frac{4}{1+{k}^{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{16{k}^{2}+16}$=4（1+k²），|CD|=$\sqrt{\frac{16+20{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$，
∴|AB||CD|=4$\sqrt{（16+20{k}^{2}）（1+{k}^{2}）}$=$\frac{1}{4}$×$32\sqrt{5（{k}^{2}+\frac{9}{10}）^{2}-\frac{1}{20}}$，
∵k∈[0，1]，∴k²∈[0，1]，
∴|AB||CD|∈[16，24$\sqrt{2}$]．

點評 本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線、圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．