Question

8．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當0＜x≤1時，f（x）=x²，當x＞0時，f（x+1）=f（x）+f（1），若直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有7個不同的公共點，則實數(shù)k的取值范圍為-$\frac{3}{5}$＜k≤-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件分別求出函數(shù)在x＞0時，對應的解析式，根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為當x＞0時，若直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有3個不同的公共點，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：∵當0＜x≤1時，f（x）=x²，
∴f（1）=1，
則當x＞0時，f（x+1）=f（x）+f（1）=f（x）+1，
即f（x）=f（x-1）-1，
若1＜x≤2，則0＜x-1≤1，
則f（x）=f（x-1）-1=（x-1）²-1=x²-2x，1＜x≤2，
若2＜x≤3，則1＜x-1≤2，
則f（x）=f（x-1）-1=（x-1）²-2（x-1）-1=x²-4x+2，2＜x≤3，
若3＜x≤4，則2＜x-1≤3，
則f（x）=f（x-1）-1=（x-1）²-4（x-1）+2-1=x²-6x+6，3＜x≤4，
若4＜x≤5，則3＜x-1≤4，
則f（x）=f（x-1）-1=（x-1）²-6（x-1）+6-1=x²-8x+12，4＜x≤5，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴若直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有7個不同的公共點，
則等價為當x＞0時，若直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有3個不同的公共點，
作出函數(shù)f（x）在x＞0時的圖象如圖：
則當x=4時，f（4）=4²-6×4+6=-2，即C（4，-2），
當x=5時，f（5）=5²-8×5+12=-3，即A（5，-3），
當直線y=kx經(jīng)過點C時，此時當x＞0時，兩個函數(shù)有3個交點，此時k=-$\frac{1}{2}$，
當直線y=kx經(jīng)過點A時，此時當x＞0時，兩個函數(shù)有4個交點，此時k=-$\frac{3}{5}$，
則若兩個函數(shù)在x＞0時，有3個交點，
則-$\frac{3}{5}$＜k≤-$\frac{1}{2}$．
故答案為：-$\frac{3}{5}$＜k≤-$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應用，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合將條件轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，比較復雜．