Question

18．如圖AB是拋物線C：x²=4y過(guò)焦點(diǎn)F的弦（點(diǎn)A在第二象限），過(guò)點(diǎn)A的直線交拋物線于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)D（D在F上方），且|AF|=|DF|，過(guò)點(diǎn)B作拋物線C的切線l
（1）求證：AE∥l；
（2）當(dāng)以AE為直徑的圓過(guò)點(diǎn)B時(shí)，求AB的直線方程．

Answer 1

分析 （1）證明k_AE=k_l，即可證明：AE∥l；
（2）當(dāng)以AE為直徑的圓過(guò)點(diǎn)B時(shí)，k_AB•k_BE=-1，利用韋達(dá)定理，即可求AB的直線方程．

解答 （1）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則D（0，y₁+2）
∴k_AE=-$\frac{2}{{x}_{1}}$，
∵x²=4y，∴y′=$\frac{1}{2}$x，
∴k_l=$\frac{1}{2}$x₂，
設(shè)直線AB的方程為y=kx+1，代入x²=4y，可得x²-4kx-4=0，
∴x₁x₂=-4，
∴k_AE=k_l，
∴AE∥l；
（2）解：直線AE的方程為y-y₁=-$\frac{2}{{x}_{1}}$（x-x₁），
與x²=4y聯(lián)立，可得x²+$\frac{8}{{x}_{1}}$x-4y₁-8=0，
∴x₁+x_E=-$\frac{8}{{x}_{1}}$，∴x_E=-$\frac{8}{{x}_{1}}$-x₁，∴E（-$\frac{8}{{x}_{1}}$-x₁，$\frac{16}{{{x}_{1}}^{2}}$+$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+4），
∵以AE為直徑的圓過(guò)點(diǎn)B，
∴k_AB•k_BE=-1，
∴$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{E}-{y}_{2}}{{x}_{E}-{x}_{2}}$=-1，
∴（x₂+x₁）（3x₂-x₁）=-16，
∵x₁x₂=-4，x₂+x₁=4k，
∴x₂=k-$\frac{1}{k}$，x₁=3k+$\frac{1}{k}$，
∴（k-$\frac{1}{k}$）（3k+$\frac{1}{k}$）=-4，
∴k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直線AB的方程為y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于中檔題．