Question

1．已知函教f（x）=2+log₂x，x∈[1，4]．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）設(shè)g（x）=[f（x）]²-f（x²），求g（x）的最值及相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的單調(diào)性就可求出最大值和最小值，從而得出值域．
（2）g（x）=（log₂x）²+2log₂x+2，令log₂x=t，將g（x）轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)h（t）=t²+2t+2=（t+1）²+1的最大值和最小值問(wèn)題．

解答 解：（1）∵f（x）=2+log₂x在[1，4]上單調(diào)遞增，
∴f_min（x）=f（1）=2，f_max（x）=f（4）=4，
∴函數(shù)f（x）的值域是[2，4]．
（2）g（x）=[f（x）]²-f（x²）=（log₂x）²+2log₂x+2．
令log₂x=t，則0≤t≤2，
∴g（x）=t²+2t+2=（t+1）²+1．
令h（t）=（t+1）²+1，則h（t）在[0，2]上單調(diào)遞增，
∴g_min（x）=h_min（t）=h（0）=2，此時(shí)log₂x=0，x=1；
g_max（x）=h_max（t）=h（2）=10，此時(shí)log₂x=2，x=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的最值和換元法解題思想，是基礎(chǔ)題．