Question

9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AD∥BC，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA=AB=BC=2，AD=1．
（Ⅰ）試作出平面PAB與平面PCD的交線EP（不需要說(shuō)明畫(huà)法和理由）；
（Ⅱ）求證：直線EP⊥平面PBC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）延長(zhǎng)BA，CD相交于點(diǎn)E，連接EP，則EP是平面PAB與平面PCD的交線．
（Ⅱ）由已知及平行線的性質(zhì)可求AB=2，AE=2，利用勾股定理可求$PE=PB=2\sqrt{2}$，而EB=4，可得PE²+PB²=EB²，從而可證EP⊥PB，由PA⊥BC，BC⊥面PAB．可證BC⊥EP，從而可證EP⊥平面PBC．

解答 （本題滿分12分）
解：（Ⅰ）∵底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AD∥BC，
∴延長(zhǎng)BA，CD相交于點(diǎn)E，連接EP，則EP是平面PAB與平面PCD的交線．
平面PAB與平面PCD的交線EP如圖所示．
…（4分）
（Ⅱ）∵AD∥BC，BC=2，AD=1，
∴A，D是EB，EC的中點(diǎn)．
∵AB=2，∴AE=2． …（6分）
∵側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA=2，
∴PA⊥AB，
∴$PE=PB=2\sqrt{2}$，而EB=4，
∴PE²+PB²=EB²，∴EP⊥PB． …（8分）
∵側(cè)棱PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥BC，
∵AB⊥AD，AD∥BC，
∴BC⊥AB，
∴BC⊥面PAB．
∵EP?面PAB，
∴BC⊥EP． …（10分）
∵BC∩PB=B，
∴EP⊥平面PBC． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，考查了勾股定理的應(yīng)用，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．