Question

7．已知f（x）是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，且f（x+2）=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，f（1）=$\frac{1}{4}$，則f（2015）=$-\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 由題意可得f（x+4）=-$\frac{1}{f（x）}$，f（x+8）=f（x），從而可得f（2015）=f（7）=-$\frac{1}{f（3）}$，而f（3）=$\frac{1+f（1）}{1-f（1）}$=$\frac{5}{3}$，從而解得．

解答 解：∵f（x+2）=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，
∴f（x+4）=$\frac{1+f（x+2）}{1-f（x+2）}$=$\frac{1+\frac{1+f（x）}{1-f（x）}}{1-\frac{1+f（x）}{1-f（x）}}$=-$\frac{1}{f（x）}$，
∴f（x+8）=-$\frac{1}{f（x+4）}$=f（x），
∴f（x）是周期為8的函數(shù)；
而2015=251×8+7，
∴f（2015）=f（7）=-$\frac{1}{f（3）}$，
∵f（3）=$\frac{1+f（1）}{1-f（1）}$=$\frac{5}{3}$，
∴f（2015）=f（7）=$-\frac{3}{5}$．
故答案為：$-\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時考查了函數(shù)的周期性的應(yīng)用．