Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≤2}\\{lo{g}_{2}（x-1），x＞2}\end{array}\right.$
（1）當x∈[-1，5]時，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）解不等式f（x+1）＞3．

Answer 1

分析 （1）當-1≤x≤2時，配方法得-1≤（x-1）²-1≤3；當2＜x≤5時，0＜log₂（x-1）≤2，從而求值域；
（2）當x+1≤2，即x≤1時，（x+1）²-2（x+1）＞3，當x+1＞2，即x＞1時，log₂（x+1-1）＞3，從而解得．

解答 解：（1）當-1≤x≤2時，
f（x）=x²-2x=（x-1）²-1，
∴-1≤（x-1）²-1≤3；
當2＜x≤5時，f（x）=log₂（x-1），
∴0＜log₂（x-1）≤2，
故函數(shù)f（x）的值域為[-1，3]；
（2）當x+1≤2，即x≤1時，
（x+1）²-2（x+1）＞3，
即（x+2）（x-2）＞0，
解得，x＜-2；
當x+1＞2，即x＞1時，
log₂（x+1-1）＞3，
解得，x＞8；
故解集為（-∞，-2）∪（8，+∞）．

點評 本題考查了分段函數(shù)的應用及分類討論的思想應用．