Question

1．已知圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cosα}\\{y=2\sqrt{3}+sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．
（1）在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）已知A（0，-2）、B（2，0），M為圓C上任意一點(diǎn)，求△ABM面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)圓的參數(shù)方程，得到其普通方程，然后，化為極坐標(biāo)方程即可；
（2）首先，寫出直線AB的方程，然后，判斷該直線與圓的位置關(guān)系，然后，構(gòu)造面積關(guān)系式，求解其最大值．

解答 解：（1）根據(jù)圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cosα}\\{y=2\sqrt{3}+sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）得
（x-2）²+（y-2$\sqrt{3}$）²=1，
∴該圓的普通方程為：（x-2）²+（y-2$\sqrt{3}$）²=1，
∴x²+y²-4x-4$\sqrt{3}$y+15=0，
∴ρ²-4ρcosθ-4$\sqrt{3}$ρsinθ+15=0，
∴圓C的極坐標(biāo)方程：ρ²-4ρcosθ-4$\sqrt{3}$ρsinθ+15=0，
（2）∵A（0，-2）、B（2，0），
∴直線AB的方程為：$\frac{x}{2}-\frac{y}{2}=1$，
∴x-y-2=0，
圓心到直線的距離d=$\frac{|2-2\sqrt{3}-2|}{\sqrt{1+（-1）^{2}}}$=$\sqrt{6}$＞1，
∴直線AB與圓相離，
∵|AB|=$\sqrt{（0-2）^{2}+（-2-0）^{2}}=2\sqrt{2}$，
∴S_△ABM=$\frac{1}{2}$|AB|×d（d為點(diǎn)M到直線的距離），
當(dāng)d取$\sqrt{6}$+1時(shí)，此時(shí)所求面積最大，
最大面積為2$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了直線與圓的位置關(guān)系、三角形的面積公式、點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)，屬于中檔題．