Question

4．關(guān)于下列命題：
①函數(shù)f（x）=|2cos²x-1|最小正周期是π；
②函數(shù)y=cos2（$\frac{π}{4}$-x）是偶函數(shù)；
③函數(shù)y=4sin（2x-$\frac{π}{3}$）的一個對稱中心是（$\frac{π}{6}$，0）；
④關(guān)于x的方程sinx+$\sqrt{3}$cosx=a（0≤x≤$\frac{π}{2}$）有兩相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，2）．
寫出所有正確的命題的題號：③．

Answer 1

分析 由條件利用正弦函數(shù)的、余弦函數(shù)的周期性、奇偶性、圖象的對稱性，以及方程的根的存在性，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象特征，得出結(jié)論．

解答 解：①函數(shù)f（x）=|2cos²x-1|=|cos2x|最小正周期是$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{2}$=$\frac{π}{2}$，故排除①；
②函數(shù)y=cos2（$\frac{π}{4}$-x）=cos（$\frac{π}{2}$-2x）=cos（2x-$\frac{π}{2}$）=sin2x，為奇函數(shù)，故排除②；
③令2x-$\frac{π}{3}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
可得函數(shù)y=4sin（2x-$\frac{π}{3}$）的一個對稱中心是（$\frac{π}{6}$，0），故③正確；
④關(guān)于x的方程sinx+$\sqrt{3}$cosx=a（0≤x≤$\frac{π}{2}$）有兩相異實(shí)根，
即2sin（x+$\frac{π}{3}$）=a有兩相異實(shí)根，即y=2sin（x+$\frac{π}{3}$）的圖象和直線y=a有兩個不同的交點(diǎn)．
∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{3}$≤x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{5π}{6}$，故$\sqrt{3}$≤a＜2，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\sqrt{3}$，2），故排除④，
故答案為：③．

點(diǎn)評 本題主要考查正弦函數(shù)的、余弦函數(shù)的周期性、奇偶性、圖象的對稱性，以及方程的根的存在性，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象特征，屬于中檔題．