Question

16．（1）若直線y=kx+1與直線$y=\frac{1}{k}x-2$的交點在直線y=x上，請你用兩種方法求出k的值．
（2）若直線y=kx+m與直線$y=\frac{1}{k}x+n$的交點在直線y=x上，且mn≠0，請你用m，n表示k的值（不必寫出計算過程，直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

分析 （1）利用其中兩條直線的交點，代入另外一條直線即可得出幾種解法．
（2）求出直線y=kx+m與直線$y=\frac{1}{k}x+n$的交點，代入直線y=x即可得出．

解答 解：（1）方法1：將y=x代入y=kx+1消去y可得$x=\frac{1}{1-k}$（2分）
將y=x與$y=\frac{1}{k}x-2$聯(lián)立消去x可得$y=\frac{-2k}{k-1}$（4分）
由y=x可得$\frac{1}{1-k}=\frac{-2k}{k-1}$（6分）
∴$k=\frac{1}{2}$（7分）
方法2：將y=x代入y=kx+1消去y可得x-1=kx（9分）
將y=x與$y=\frac{1}{k}x-2$聯(lián)立消去y可得$x+2=\frac{1}{k}x$（11分）
兩式相乘得：（x-1）（x+2）=x²（13分）
解之得  x=2
將 x=2代入x-1=kx可得$k=\frac{1}{2}$（14分）
另解（方法2）：由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{y=\frac{1}{k}x-2}\end{array}}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{-3k}{{{k^2}-1}}}\\{y=\frac{{-1-2{k^2}}}{{{k^2}-1}}}\end{array}}\right.$（11分）
∵y=x且k≠±1∴-3k=-1-2k²（13分）
∴$k=\frac{1}{2}$（14分）
（2）$k=-\frac{m}{n}$（18分）

點評 本題考查了直線的交點、方程組的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．