Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx+1}{{e}^{x}}$．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，證明：對(duì)于任意x＞0，f′（x）＜$\frac{1+{e}^{-2}}{{x}^{2}+x}$．

Answer 1

分析 （1）f（x）=$\frac{lnx+1}{{e}^{x}}$，x＞0．f′（x）=$\frac{1-x（lnx+1）}{x{e}^{x}}$，f′（1）=0，即可得出單調(diào)區(qū)間．
（2）要證明f′（x）=$\frac{1-x（lnx+1）}{x{e}^{x}}$＜$\frac{1+{e}^{-2}}{{x}^{2}+x}$，x＞0，即證明1-x（lnx+1）＜$\frac{（1+{e}^{-2}）{e}^{x}}{x+1}$．令g（x）=1-x（lnx+1），h（x）=$\frac{（1+{e}^{-2}）{e}^{x}}{x+1}$．（x＞0）．令導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，分別求出函數(shù)g（x）的最大值，函數(shù)h（x）的最小值即可證明．

解答 （1）解：f（x）=$\frac{lnx+1}{{e}^{x}}$，x＞0．
f′（x）=$\frac{1-x（lnx+1）}{x{e}^{x}}$，
f′（1）=0，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）；單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1]．
（2）證明：要證明f′（x）=$\frac{1-x（lnx+1）}{x{e}^{x}}$＜$\frac{1+{e}^{-2}}{{x}^{2}+x}$，x＞0，即證明1-x（lnx+1）＜$\frac{（1+{e}^{-2}）{e}^{x}}{x+1}$．
令g（x）=1-x（lnx+1），h（x）=$\frac{（1+{e}^{-2}）{e}^{x}}{x+1}$．（x＞0）．
g′（x）=-lnx-2，
令g′（x）=0，解得x=e^-2．當(dāng)x＞e^-2時(shí)，g′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)0＜x＜e^-2時(shí)，g′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=e^-2時(shí)，函數(shù)g（x）取得最大值，g（e^-2）=1+e^-2．
h′（x）=（1+e^-2）$\frac{{e}^{x}x}{（x+1）^{2}}$＞0，∴函數(shù)h（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞增．
∴h（x）＞h（0）=1+e^-2．
∴對(duì)于任意x＞0，f′（x）＜$\frac{1+{e}^{-2}}{{x}^{2}+x}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．