Question

15．已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公比為q（q＞1）的等比數(shù)列，且a₂=b₂，a₃+b₃=7．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{c_n}滿(mǎn)足c_n=a_n+b_n，T_n為數(shù)列{c_n}前n項(xiàng)和，求T_n；
（3）若不等式（-1）ⁿx＜（-1）ⁿ⁺¹a_n+b_n對(duì)于任意的n∈N⁺都成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公比為q（q＞1）的等比數(shù)列，且a₂=b₂，a₃+b₃=7．可得1+d=q，1+2d+q²=7，解出即可得出．
（2）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．
（3）不等式（-1）ⁿx＜（-1）ⁿ⁺¹a_n+b_n，對(duì)n分類(lèi)討論，利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公比為q（q＞1）的等比數(shù)列，且a₂=b₂，a₃+b₃=7．
∴1+d=q，1+2d+q²=7，
解得d=1，q=2．
∴a_n=n，b_n=2^n-1；
（2）c_n=a_n+b_n=n+2^n-1．
∴數(shù)列{c_n}前n項(xiàng)和T_n=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=$\frac{n（n+1）}{2}$+2ⁿ-1．
（3）不等式（-1）ⁿx＜（-1）ⁿ⁺¹a_n+b_n，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，不等式化為x＜-n+2^n-1，
∵-n+2^n-1≥0，∴x＜0．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，不等式化為-x＜+n+2^n-1，
∵n+2^n-1≥2，∴x＜-2．
∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是（-2，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)的和公式、分類(lèi)討論方法，考查了推理能力與技能數(shù)列，屬于中檔題．