Question

14．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：
①f（x）是偶函數(shù)；
②f（x-1）是奇函數(shù)；
③f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{0，x=0}\\{lnx，x∈（0，1]}\end{array}\right.$．
則方程f（x）+2=f（2）在區(qū)間（-2，10）內(nèi)的所有實(shí)根之和為（　　）

• A． 22
• B． 24
• C． 26
• D． 28

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）滿足的條件①②便可得出f（x）為周期為4的周期函數(shù)，并且可得到f（x）的圖象關(guān)于y軸和點(diǎn)（-1，0）對(duì)稱，根據(jù)f（x）在（0，1]上的解析式可畫出f（x）在（0，1]上的圖象，根據(jù)f（x）的對(duì)稱性和周期便可畫出f（x）在（-2，10）上的圖象，并且可以求出f（2）=0，從而得出f（x）=-2．再畫出y=-2的圖象，該圖象和f（x）圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)便是f（x）=-2的解，結(jié)合圖象即可求出f（x）=-2的所有實(shí)根之和，從而找出正確選項(xiàng)．

解答 解：f（x）是偶函數(shù)，f（x-1）為奇函數(shù)；
∴f（x）的圖象關(guān)于y軸和點(diǎn)（-1，0）對(duì)稱，且f（x）=f（-x）=f[（-x+1）-1]=-f（x-2）=f（x-4）；
∴f（x）是周期為4的周期函數(shù)；
可作f（x）在（0，1]上的圖象，然后作該圖象關(guān)于y軸的對(duì)稱圖象便可得出f（x）在[-1，0）上的圖象，再作關(guān)于點(diǎn)（-1，0）的對(duì)稱圖象便可得出在（-2，1]上的圖象，再作該圖象關(guān)于y軸的對(duì)稱圖象，便可得出f（x）在[1，2）上的圖象；
∴可得到f（x）在一個(gè)周期（-2，2）上的圖象，從而得出f（x）在（-2，10）上的圖象如下所示：

f（2）=-f（2-2）=-f（0）=0；
∴f（x）+2=0；
即f（x）=-2；
如圖所示，f（x）和y=-2交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為方程f（x）=-2的解；
根據(jù)圖象$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=0，\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}=4，\frac{{x}_{5}+{x}_{6}}{2}=8$；
∴x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆=24．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，以及周期函數(shù)的定義，方程的解和函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，以及奇函數(shù)、偶函數(shù)，和周期函數(shù)的對(duì)稱性，數(shù)形結(jié)合解題的方法．