Question

4．已知y=f（x）是二次函數(shù)，且f（-$\frac{3}{2}$+x）=f（-$\frac{3}{2}$-x）對(duì)x∈R恒成立，f（-$\frac{3}{2}$）=49，方程f（x）=0的兩實(shí)根之差的絕對(duì)值等于7．求此二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 由題意可設(shè)二次函數(shù)的解析式為f（x）=a（x+$\frac{3}{2}$）²+49，由已知條件結(jié)合韋達(dá)定理可得a的方程，解方程可得a值，可得解析式．

解答 解：由題意可得二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=-$\frac{3}{2}$，頂點(diǎn)為（-$\frac{3}{2}$，49），
∴可設(shè)二次函數(shù)的解析式為f（x）=a（x+$\frac{3}{2}$）²+49=ax²+3ax+$\frac{9}{4}$a+49，
∴兩根x₁，x₂滿足x₁+x₂=-3，x₁x₂=$\frac{9}{4}$+$\frac{49}{a}$，
又方程f（x）=0的兩實(shí)根之差的絕對(duì)值等于7，即|x₁-x₂|=7，
∴（x₁-x₂）²=49，∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=49，
∴9-（9+$\frac{4×49}{a}$）=49，解得a=-4
∴此二次函數(shù)的解析式為f（x）=-4x²-12x+40

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)解析式的求解方法，涉及韋達(dá)定理和整體思想，屬中檔題．