Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=xlnx﹣ x2﹣x+a（a∈R）．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)．
（�。┣骯的取值范圍；
（ⅱ）設(shè)兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x1 ， x2 ， 證明：x1x2＞e2 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=xlnx﹣x．

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閤＞0，f'（x）=lnx；

當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0．

所以，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；在（1，+∞）上單調(diào)遞增．

（2）解：（ⅰ）依題意，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閤＞0，f'（x）=lnx﹣ax

所以方程f'（x）=0在x＞0上有兩個(gè)不同根，即：

方程lnx﹣ax=0在x＞0上有兩個(gè)不同根，轉(zhuǎn)化為：函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=ax

的圖象在x＞0上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，如圖．

可見，若令過原點(diǎn)且切于函數(shù)y=lnx圖象的直線斜率為k，只須0＜a＜k．

令切點(diǎn)A（x0，lnx0），所以k= ，又k= ，所以 ，

解得：x0=e，于是k= ，

所以，0＜a＜ ．

（ⅱ）由（i）可知x1，x2分別是方程lnx﹣ax=0的兩個(gè)根，

即lnx1=ax1，lnx2=ax2，

不妨設(shè)x1＞x2，作差得，ln =a（x1﹣x2），即a= ．

原不等式

等價(jià)于

令 ，則t＞1，

設(shè) ， ，

∴函數(shù)g（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，

∴g（t）＞g（1）=0，

即不等式 成立，

故所證不等式 成立．

【解析】（1）對(duì)f（x）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)來判斷f（x）的圖形單調(diào)性；（2）（i）函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為：方程lnx﹣ax=0在x＞0上有兩個(gè)不同根．（ii）x1 ， x2分別是方程lnx﹣ax=0的兩個(gè)根，即lnx1=ax1 ， lnx2=ax2；不妨設(shè)x1＞x2 ， 作差得，ln =a（x1﹣x2），即a= ．原不等式 等價(jià)于 ．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減，以及對(duì)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．