Question

11．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左右頂點(diǎn)分別為A、B，左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，若|AF₁|，|F₁F₂|，|F₁B|成等差數(shù)列，則此橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{5}-2$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 求得A（-a，0），B（a，0），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），運(yùn)用等差數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由題意可得A（-a，0），B（a，0），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
由|AF₁|，|F₁F₂|，|F₁B|成等差數(shù)列，可得
2|F₁F₂|=|AF₁|+|F₁B|，
即為4c=（a-c）+（a+c），
即a=2c，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率的求法，以及等差數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．