Question

13．已知矩形ABCD，PA⊥面ABCD，連接AC、BD、PB、PC、PD，則下列各組向量中數(shù)量積不為0的是（　　）

• A． $\overrightarrow{PC}$和$\overrightarrow{BD}$
• B． $\overrightarrow{DA}$和$\overrightarrow{PB}$
• C． $\overrightarrow{PD}$與$\overrightarrow{AB}$
• D． $\overrightarrow{PC}$與$\overrightarrow{AD}$

Answer 1

分析 可畫出圖形，根據(jù)線面垂直的判定定理及其性質(zhì)便可判斷出PC⊥BD，DA⊥PB，PD⊥AB，從而可以得出前三項的向量數(shù)量積為0，這便得出正確選項為D．

解答 解：如圖，
PA⊥面ABCD，BD?面ABCD；
∴PA⊥BD，即BD⊥PA；
又BD⊥AC，PA∩AC=A；
∴BD⊥面PAC，PC?面PAC；
∴BD⊥PC；
∴$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{BD}=0$；
DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA=A；
∴DA⊥面PAB；
∴DA⊥PB；
∴$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{PB}=0$；
同理，AB⊥面PAD；
∴AB⊥PD；
∴$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{AB}=0$；
BC∥AD；
∴∠PCB為PC與AD所成角；
根據(jù)前面，AD⊥平面PAB，∴BC⊥平面PAB；
∴BC⊥PB；
∴∠PCB為銳角；
即PC與AD不垂直，∴$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{AD}≠0$．
故選：D．

點評 考查線面垂直的判定定理及線面垂直的性質(zhì)，異面直線所成角的概念，以及向量垂直的充要條件．