Question

1．已知A、B、C是球O的球面上三點(diǎn)，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，且棱錐O-ABC的體積為$\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$，則球O的表面積為48π．

Answer 1

分析 求出底面三角形的面積，利用三棱錐的體積求出O到底面的距離，求出底面三角形的所在平面圓的半徑，通過勾股定理求出球的半徑，即可求解球的體積．

解答 解：三棱錐O-ABC，A、B、C三點(diǎn)均在球心O的表面上，且AB=2，BC=4，∠ABC=60°，AC=2$\sqrt{3}$，外接圓的半徑為：GA=2，
△ABC的外接圓的圓心為G，則OG⊥⊙G，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}×2×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，三棱錐O-ABC的體積為$\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$，
∴$\frac{1}{3}$S_△ABC•OG=$\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$，即$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×OG$=$\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$，
∴OG=2$\sqrt{2}$，
球的半徑為：$\sqrt{4+8}$=2$\sqrt{3}$．
球的表面積：4π×12=48π．
故答案為：48π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的表面積的求法，球的內(nèi)含體與三棱錐的關(guān)系，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．