Question

5．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA=90°，點(diǎn)D、E分別在棱PB、PC上，且DE∥BC．
（1）求證；BC⊥平面PAC．
（2）是否存在點(diǎn)E使得二面角A-DE-P為直二面角？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）欲證BC⊥平面PAC，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證BC與平面PAC內(nèi)兩相交直線垂直，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知PA⊥BC，而AC⊥BC，滿足定理所需條件；
（2）根據(jù)DE⊥AE，DE⊥PE，由二面角的平面角的定義可知∠AEP為二面角A-DE-P的平面角，而PA⊥AC，則在棱PC上存在一點(diǎn)E，使得AE⊥PC，從而存在點(diǎn)E使得二面角A-DE-P是直二面角．

解答 解：（1）證明：∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．
又∠BCA=90°，∴AC⊥BC，又PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC．
（2）∵DE∥BC，又由（1）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC．
又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP為二面角A-DE-P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，
∴∠PAC=90°，∴在棱PC上存在一點(diǎn)E，使得AE⊥PC．
這時(shí)，∠AEP=90°，
故存在點(diǎn)E使得二面角A-DE-P是直二面角．

點(diǎn)評(píng) 考查線面所成角、線面垂直的判定定理以及二面角的求法，涉及到的知識(shí)點(diǎn)比較多，知識(shí)性技巧性都很強(qiáng)．