Question

3．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇-2，2]，且滿足：f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）若f（x）為單調(diào)函數(shù)，且f（1）＞0，f（-1）=-1，解不等式：f（2x）+f（x²-2）＞-2．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法令x=y=0，即可求f（0）；
（2）利用賦值法令y=-x，即可得到f（-x）=-f（x），故f（x）為奇函數(shù)
（3）將不等式f（2x）+f（x²-2）＞-2進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解．

解答 解：（1）令x=y=0，則f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0，
（2）令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x），
即f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)，
（3）由于f（x）為奇函數(shù)，且為單調(diào)函數(shù)，f（1）＞0，f（-1）=-1，
∴f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，
令x=y=-1，
則f（-2）=2f（-1）=-2，
∵f（2x）+f（x²-2）＞-2，
∴f（2x+x²-2）＞f（-2）
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2≤{x}^{2}+2x-2≤2}\\{{x}^{2}+2x-2＞-2}\end{array}\right.$，
解得0＜x≤$\sqrt{5}$-1．

點(diǎn)評 本題考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，考查了函數(shù)的奇偶性的判斷與證明，訓(xùn)練了特值法求函數(shù)的值，考查了學(xué)生靈活處理問題和解決問題的能力，屬中檔題．