Question

f₁（x）=

2

1+x

，定義f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，a_n=

fn(0)-1

fn(0)+2

，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值，并求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）若T_2n=a₁+2a₂+3a₃+…+2na_2n，Q_n=

4n2+n

4n2+4n+1

，其中n∈N^*，試比較9T_2n與Q_n大小，并說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,二項式定理

分析：（1）代入化簡，可證明；（2）利用錯位相減法求出數(shù)列的和，再由二項式定理比較9T_2n與Q_n大小．

解答： 證明：（1）∵f₁（0）=2，∴a1=

2-1

2+2

=

1

4

，
∵f₂（x）=f₁[f₁（x）]=

2

3

，∴a2=

2 3 -1

2 3 +2

=-

1

8

，
∵f_n+1（0）=f₁[f_n（0）]=

2

1+fn(0)

，
∴an+1=

fn+1(0)-1

fn+2(0)+2

=

2 1+fn(0) -1

2 1+fn(0) +2

=

1-fn(0)

4+2fn(0)

=-

1

2

•

fn(0)-1

fn(0)+2

=-

1

2

an，
∴

an+1

an

=-

1

2

，
∴數(shù)列{a_n}是首項為

1

4

，公比為-

1

2

的等比數(shù)列．
（2）由（1）知an=

1

4

(-

1

2

)n-1，
T_2n=a₁+2a₂+3a₃+…+2na_2n，
-

1

2

T_2n=（-

1

2

）a₁+（-

1

2

）2a₂+（-

1

2

）3a₃+…+（-

1

2

）2na_2n，
兩式相減得：

3

2

T_2n=

1 4 [1-(- 1 2 )2n]

1+ 1 2

+n×

1

4

(-

1

2

)2n-1
∴T_2n=

1

9

(1-

3n+1

22n

)；
∴9T2n=1-

3n+1

22n

，又Q_n=

4n2+n

4n2+4n+1

=1-

3n+1

4n2+4n+1

，
當n=1時，9T_2n＜Q_n；
當n=2時，9T_2n＜Q_n；
當n≥3時，2²ⁿ=[（1+1）ⁿ]²=

(c

0 n

+

c

1 n

+…+

c

n n

)2＞（2n+1）²，∴9T_2n＞Q_n．

點評：本題化簡很容易出錯，要細致；第二問考查了錯位相減法及比較大小的方法，屬于難題．