Question

16．若不等式組$\left\{\begin{array}{l}x-y+2≥0\\ x-5y+10≤0\\ x+y-8≤0\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域被直線y=kx+2分為面積相等的兩部分，則k的值為$\frac{1}{2}$；若該平面區(qū)域存在點（x₀，y₀）使x₀+ay₀+2≤0成立，則實數(shù)a的取值范圍是a≤-1．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，由目標(biāo)函數(shù)過定點（0，2），結(jié)合平面區(qū)域被直線y=kx+2分為面積相等的兩部分，可知直線y=kx+2過BC的中點，聯(lián)立方程組結(jié)合中點坐標(biāo)公式求出BC中點，再由兩點求斜率公式得k值；利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合分類進(jìn)行求解，可得實數(shù)3a+b的取值范圍．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y+2≥0\\ x-5y+10≤0\\ x+y-8≤0\end{array}\right.$作出可行域如圖，
∵直線y=kx+2過定點（0，2），若平面區(qū)域被直線y=kx+2分為面積相等的兩部分，
則直線y=kx+2過BC的中點，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{x+y-8=0}\end{array}\right.$，解得B（3，5）；
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-5y+10=0}\\{x+y-8=0}\end{array}\right.$，解得C（5，3）．
∴BC的中點為（4，4），則k=$\frac{4-2}{4-0}=\frac{1}{2}$；
若a=0，則不等式x+ay+2≤0等價為x≤-2，此時不滿足條件；
若a＞0，則不等式等價為y≤-$\frac{1}{a}x-\frac{2}{a}$，直線y=-$\frac{1}{a}x-\frac{2}{a}$的斜率k=-$\frac{1}{a}$＜0，此時區(qū)域都在直線y=-$\frac{1}{a}x-\frac{2}{a}$的上方，不滿足條件；
若a＜0，則不等式等價為y≥-$\frac{1}{a}x-\frac{2}{a}$，直線y=-$\frac{1}{a}x-\frac{2}{a}$的斜率k=-$\frac{1}{a}$＞0，
若平面區(qū)域存在點（x₀，y₀），使x₀+ay₀+2≤0成立，
則只要滿足點A（0，2）滿足條件不等式此時區(qū)域都在直線y=-$\frac{1}{a}x-\frac{2}{a}$的上方即可．
即0+2a+2≤0，解得a≤-1，
故答案為：a≤-1．
故答案為：$\frac{1}{2}；a≤-1$．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．