Question

19．橢圓Γ：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)分別為F₁（0，-c），F(xiàn)₂（0，c），過(guò)點(diǎn)F₁斜率為1的直線(xiàn)l與橢圓Γ交于M、N兩點(diǎn)，且2sin∠MF₂N=sin∠F₂MN+sin∠F₂NM．
（1）求橢圓離心率；
（2）設(shè)點(diǎn)P（0，-1）在線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)上，求橢圓Γ的方程．

Answer 1

分析 （1）由已知得2MN=MF₂+NF₂，MN=$\frac{4}{3}a$，直線(xiàn)l的方程為：y=x-c，與橢圓聯(lián)立，得（a²+b²）x²-2b²cx+b²c²-a²b²=0，由弦長(zhǎng)公式得$\frac{4a^{2}}{{a}^{2}+^{2}}=\frac{4a}{3}$，由此能求出橢圓離心率．
（2）線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)為：y=-x-1，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{y=x-c}\end{array}\right.$，得x=$\frac{c-1}{2}$，由2x=x₁+x₂，得c=3，由此能求出橢圓Γ的方程．

解答 解：（1）∵橢圓Γ：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)分別為F₁（0，-c），F(xiàn)₂（0，c），
過(guò)點(diǎn)F₁斜率為1的直線(xiàn)l與橢圓Γ交于M、N兩點(diǎn)，且2sin∠MF₂N=sin∠F₂MN+sin∠F₂NM．
∴2MN=MF₂+NF₂，∴MF₂+NF₂+MN=4a=3MN，∴MN=$\frac{4}{3}a$，
直線(xiàn)l的方程為：y=x-c，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-c}\\{\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，得（a²+b²）x²-2b²cx+b²c²-a²b²=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2^{2}c}{{a}^{2}+^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{^{4}}{{a}^{2}+^{2}}$，
∴MN=$\sqrt{2[（\frac{2^{2}c}{{a}^{2}+^{2}}）^{2}+4×\frac{^{4}}{{a}^{2}+^{2}}]}$=$\frac{4a^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，
∴$\frac{4a^{2}}{{a}^{2}+^{2}}=\frac{4a}{3}$，整理，得a²=2b²，∴b²=c²，a=$\sqrt{2}c$，
∴橢圓離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）∵點(diǎn)P（0，-1）在線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)上，
∴線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)為：y=-x-1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{y=x-c}\end{array}\right.$，得x=$\frac{c-1}{2}$，y=-$\frac{c+1}{2}$，
∵${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2^{2}c}{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{2{c}^{3}}{3{c}^{2}}$=$\frac{2}{3}c$，
∴由2x=x₁+x₂，即c-1=$\frac{2}{3}c$，得c=3，∴b=3，a²=9+9=18，
∴橢圓Γ的方程為$\frac{{y}^{2}}{9}+\frac{{x}^{2}}{18}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓離心率的求法，考查橢圓方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長(zhǎng)公式、正弦定理的合理運(yùn)用．