Question

11．在數(shù)列11，111，1111，…中（　�。�

• A． 有完全平方數(shù)
• B． 沒有完全平方數(shù)
• C． 沒有偶數(shù)
• D． 沒有3的倍數(shù)

Answer 1

分析 如果這串?dāng)?shù)有完全平方數(shù)，則它必是奇數(shù)的平方．因?yàn)槠鏀?shù)的完全平方數(shù)是奇數(shù)，偶數(shù)的完全平方數(shù)為偶數(shù)，而奇數(shù)的完全平方數(shù)除以4余1，偶數(shù)的完全平方數(shù)能被4整除，現(xiàn)在這些數(shù)都是奇數(shù)，它們除以4的余數(shù)都是3，所以不可能為完全平方數(shù)．

解答 解：因?yàn)槠鏀?shù)的完全平方數(shù)是奇數(shù)，偶數(shù)的完全平方數(shù)為偶數(shù)，而奇數(shù)的完全平方數(shù)除以4余1，偶數(shù)的完全平方數(shù)能被4整除，現(xiàn)在11，111，1111，11111，…這些數(shù)都是奇數(shù)，它們除以4的余數(shù)都是3，所以不是完全平方數(shù)，
故選：B．

點(diǎn)評 此題也可這樣理解：易知該串?dāng)?shù)中若存在完全平方數(shù)，則為末尾是1或9的數(shù)的平方．當(dāng)該串?dāng)?shù)中存在末尾為1的數(shù)的平方時(shí)，則，其中n、k為正整數(shù)．但，易知n²需滿足十位數(shù)為偶數(shù)，矛盾．當(dāng)該串?dāng)?shù)中存在末尾為9的數(shù)的平方時(shí)，則，其中n、k為正整數(shù)．但，易知n²需滿足十位數(shù)為偶數(shù)，矛盾．