Question

17．將邊長為1正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A-BD-C，有如下四個結論：（1）AC⊥BD；（2）△ACD是等邊三角形；（3）四面體A-BCD的表面積為$1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．則正確結論的序號為（1）（2）（3）．

Answer 1

分析 作出此直二面角的圖形，由圖形中所給的位置關系，對題目中的命題進行判斷，即可得出正確的結論．

解答 解：根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示：

二面角A-BD-C為90°，E是BD的中點，可以得出∠AEC=90°，為直二面角的平面角；
對于（1），由于BD⊥面AEC，得出AC⊥BD，命題（1）正確；
對于（2），在等腰直角三角形AEC中，可以求出AC=$\sqrt{2}$AE=AD=CD，
所以△ACD是等邊三角形，命題（2）正確；
對于（3），四面體ABCD的表面積為
S=2S_△ACD+2S_△ABD=2×$\frac{1}{2}$×1²×sin60°+2×$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+1，
命題（3）正確；
綜上，正確的命題是（1）（2）（3）．
故答案為：（1）（2）（3）．

點評 本題考查了與二面角有關的線線之間、線面之間角的求法問題，是綜合性問題．