Question

12．已知點P是橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上的動點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C₁的左、右焦點，橢圓C₂以橢圓C₁的長軸為短軸，且與C₁有相同的離心率．
（1）求橢圓C₁的焦點坐標(biāo)、離心率及PF₁的最大值；
（2）求橢圓C₂的方程．

Answer 1

分析 （1）求得橢圓C₁的a，b，c，可得焦點和離心率，由橢圓上的點與焦點的距離的最大值為a+c，可得；
（2）設(shè)橢圓C₂的方程為$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞n＞0），由題意可得n=2，再由離心率公式計算即可得到所求方程．

解答 解：（1）橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的a=2，b=1，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0），離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
PF₁的最大值為a+c=2+$\sqrt{3}$；
（2）設(shè)橢圓C₂的方程為$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞n＞0），
由題意可得n=a=2，e=$\frac{\sqrt{{m}^{2}-{n}^{2}}}{m}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得m=4，
即有橢圓C₂的方程為$\frac{{y}^{2}}{16}$+$\frac{{x}^{2}}{4}$=1．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，以及橢圓的性質(zhì)的運用，注意運用待定系數(shù)法，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．