Question

20．當x∈（1，4）時，求函數(shù)f（x）=（log₂$\frac{x}{8}$）$•（lo{g}_{2}\frac{x}{4}）$的值域．

Answer 1

分析 進行對數(shù)的運算，從而得到f（x）=log²₂x-5log₂x+6，可換元：令log₂x=t，設(shè)y=f（x），從而可得到$y=（t-\frac{5}{2}）^{2}-\frac{1}{4}$，從而根據(jù)t的范圍，求該二次函數(shù)的值域即可得出原函數(shù)的值域．

解答 解：f（x）=（log₂x-3）（log₂x-2）=log²₂x-5log₂x+6；
令log₂x=t，0＜t＜2，設(shè)y=f（x），則：
$y={t}^{2}-5t+6=（t-\frac{5}{2}）^{2}-\frac{1}{4}$，設(shè)y=g（t），則：
$g（\frac{5}{2}）≤g（t）＜g（1）$；
∴$-\frac{1}{4}≤g（t）＜2$；
∴原函數(shù)的值域為$[-\frac{1}{4}，2）$．

點評 考查函數(shù)值域的概念，對數(shù)的運算，換元法求函數(shù)的值域，以及配方求二次函數(shù)值域的方法．