Question

8．已知$\overrightarrow{a}$=（2cosα，2sinα），$\overrightarrow$=（cosβ，sinβ），0＜α＜β＜2π．
（1）若$\overrightarrow{c}$=（1，1），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{c}$，求α的值；
（2）若$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=1，cos（α+β）=$\frac{1}{3}$，求tanαtanβ的值；
（3）設(shè)$\overrightarrow{c}$=（2，0），若$\overrightarrow{a}$$+2\overrightarrow$=$\overrightarrow{c}$，求α+β的值．

Answer 1

分析 （1）由向量共線的坐標(biāo)表示和同角公式即可得到所求；
（2）運用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和兩角和的余弦公式及同角公式，計算即可得到所求；
（3）由向量的加法運算和兩角和差的余弦公式，計算即可得到所求α+β的值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$=（2cosα，2sinα），$\overrightarrow{c}$=（1，1），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{c}$，
可得2cosα=2sinα，即tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=1，
由0＜α＜2π，可得α=$\frac{π}{4}$或$\frac{5π}{4}$；
（2）若$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=1，則2cosαcosβ+2sinαsinβ=1，
即有cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{1}{2}$，
又cos（α+β）=$\frac{1}{3}$，即cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{1}{3}$，
解得cosαcosβ=$\frac{5}{12}$，sinαsinβ=$\frac{1}{12}$．
tanαtanβ=$\frac{sinαsinβ}{cosαcosβ}$=$\frac{1}{5}$；
（3）設(shè)$\overrightarrow{c}$=（2，0），若$\overrightarrow{a}$$+2\overrightarrow$=$\overrightarrow{c}$，
則cosα+cosβ=1，sinα+sinβ=0，
平方相加可得2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=1，
即有cos（α-β）=-$\frac{1}{2}$，
平方相減可得cos2α+cos2β+2（cosαcosβ-sinαsinβ）=1，
可得2cos（α+β）cos（α-β）+2cos（α+β）=1，
即有cos（α+β）=1，即α+β=2kπ，k∈Z，
由0＜α＜β＜2π，可得0＜α+β＜4π，
即有k=1，可得α+β=2π．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算，考查三角函數(shù)的化簡和求值，注意運用同角的基本關(guān)系式和二倍角公式及兩角和差的余弦公式，屬于中檔題．