Question

4．已知A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是$A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈（\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}）$，若$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}=-1$，則$\frac{1+tanα}{{2{{sin}^2}α+sin2α}}$=-$\frac{9}{5}$．

Answer 1

分析 先由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，求出$\overrightarrow{AC}$與$\overrightarrow{BC}$的坐標(biāo)，再根據(jù)$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=-1，列出一個(gè)關(guān)于α的方程，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值問(wèn)題．

解答 解：由$\overrightarrow{AC}$=（cosα-3，sinα），$\overrightarrow{BC}$=（cosα，sinα-3），
得$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=-1，
∴sinα+cosα=$\frac{2}{3}$，
∴2sinαcosα=-$\frac{5}{9}$，
$\frac{1+tanα}{{2{{sin}^2}α+sin2α}}$=$\frac{1+\frac{sinα}{cosα}}{{2sin}^{2}α+2sinαcosα}$=$\frac{1}{2sinαcosα}$=-$\frac{9}{5}$．
故答案為：$-\frac{9}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 解決此題的關(guān)鍵是：熟練掌握向量數(shù)量積公式以及三角函數(shù)的變換方法．已知某三角函數(shù)值、求其它三角函數(shù)的值．一般先化簡(jiǎn)，再求值．化簡(jiǎn)三角函數(shù)的基本方法：統(tǒng)一角、統(tǒng)一名通過(guò)觀察“角”“名”“次冪”，找出突破口，利用切化弦、降冪、逆用公式等手段將其化簡(jiǎn)．