Question

4．已知A，B，C三點的坐標分別是$A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈（\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}）$，若$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}=-1$，則$\frac{1+tanα}{{2{{sin}^2}α+sin2α}}$=-$\frac{9}{5}$．

Answer 1

分析 先由A、B、C三點的坐標，求出$\overrightarrow{AC}$與$\overrightarrow{BC}$的坐標，再根據(jù)$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=-1，列出一個關于α的方程，可將問題轉化為簡單的三角函數(shù)化簡求值問題．

解答 解：由$\overrightarrow{AC}$=（cosα-3，sinα），$\overrightarrow{BC}$=（cosα，sinα-3），
得$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=-1，
∴sinα+cosα=$\frac{2}{3}$，
∴2sinαcosα=-$\frac{5}{9}$，
$\frac{1+tanα}{{2{{sin}^2}α+sin2α}}$=$\frac{1+\frac{sinα}{cosα}}{{2sin}^{2}α+2sinαcosα}$=$\frac{1}{2sinαcosα}$=-$\frac{9}{5}$．
故答案為：$-\frac{9}{5}$．

點評 解決此題的關鍵是：熟練掌握向量數(shù)量積公式以及三角函數(shù)的變換方法．已知某三角函數(shù)值、求其它三角函數(shù)的值．一般先化簡，再求值．化簡三角函數(shù)的基本方法：統(tǒng)一角、統(tǒng)一名通過觀察“角”“名”“次冪”，找出突破口，利用切化弦、降冪、逆用公式等手段將其化簡．