Question

8．在△ABC中，角A，B，C分別為三個(gè)內(nèi)角，B=2A，向量$\overrightarrow{m}$=（cosA，-sinB），向量$\overrightarrow{n}$=（cosB，sinA），且向量$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
（1）求角B的大小；
（2）設(shè)f（x）=cos（ωx-$\frac{B}{2}$）+sinωx（ω＞0），且f（x）的最小正周期為π，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間及f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）由向量垂直得到關(guān)于A的等式求出B；
（2）利用（1）的結(jié)論，化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，求單調(diào)區(qū)間和最值．

解答 解：（1）由已知B=2A，向量$\overrightarrow{m}$=（cosA，-sinB），向量$\overrightarrow{n}$=（cosB，sinA），且向量$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
得到$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=cosAcosB-sinBsinA=cos（A+B）=cos3A=0，所以3A=$\frac{π}{2}$，A=$\frac{π}{6}$，B=$\frac{π}{3}$；
（2）f（x）=cos（ωx-$\frac{B}{2}$）+sinωx=cos（ωx-$\frac{π}{6}$）+sinωx=$\frac{\sqrt{3}}{2}cosωx+\frac{3}{2}sinωx$=$\sqrt{3}sin（ωx+\frac{π}{6}）$，（ω＞0），
因?yàn)閒（x）的最小正周期為π，所以$\frac{2π}{ω}=π$，解得ω=2；
所以f（x）=$\sqrt{3}sin（2x+\frac{π}{6}）$，
令2x+$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{2}+2kπ，\frac{π}{2}+2kπ$]，所以x∈[$-\frac{2π}{3}+kπ，\frac{π}{3}+kπ$]，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$-\frac{2π}{3}+kπ，\frac{π}{3}+kπ$]；
當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}$]，所以$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積以及三角函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用；關(guān)鍵是正確化簡(jiǎn)三角函數(shù)式為最簡(jiǎn)形式，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求單調(diào)區(qū)間以及最值．