Question

9．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左、右兩焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線l：3x-4y=0交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，且|AF₂|+|BF₂|=2$\sqrt{2}$．
（1）若橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求橢圓的方程；
（2）若點(diǎn)M到直線l的距離不小于$\frac{4}{5}$，求橢圓的離心率的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）連接AF₁，BF₁，可得四邊形AF₂BF₁為平行四邊形，由橢圓的定義可得，2a=2$\sqrt{2}$，再由離心率公式可得c，b，進(jìn)而得到橢圓的方程；
（2）設(shè)出M（0，b），運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式可得b的范圍，再由離心率公式，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）連接AF₁，BF₁，
可得四邊形AF₂BF₁為平行四邊形，
即有|AF₂|+|BF₂|=|AF₂|+|AF₁|=2$\sqrt{2}$，
由橢圓的定義可得，2a=2$\sqrt{2}$，即a=$\sqrt{2}$，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1．
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）由題意可設(shè)M（0，b），
由點(diǎn)M到直線l：3x-4y=0的距離不小于$\frac{4}{5}$，
可得d=$\frac{|0-4b|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$≥$\frac{4}{5}$，即為b≥1，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$≤$\sqrt{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則有橢圓的離心率的范圍是（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，考查離心率的運(yùn)用，同時(shí)考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．