Question

11．定義域為R的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=2f（x），當(dāng)x∈[0，2）時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-x，x∈[0，1）\\-{（\frac{1}{2}）^{|{x-\frac{3}{2}}|}}，x∈[1，2）\end{array}$，若當(dāng)x∈[-4，-2）時，不等式f（x）≥$\frac{t^2}{4}-t+\frac{1}{2}$恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是（　�。�

• A． [2，3]
• B． [1，3]
• C． [1，4]
• D． [2，4]

Answer 1

分析 根據(jù)條件，只要求出函數(shù)f（x）在x∈[-4，-2）上的最小值即可得到結(jié)論．

解答 解：當(dāng)x∈[0，1）時，f（x）=x²-x∈[-$\frac{1}{4}$，0]，
當(dāng)x∈[1，2）時，f（x）=-（0.5）^|x-1.5|∈[-1，$-\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
∴當(dāng)x∈[0，2）時，f（x）的最小值為-1，
又∵函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=2f（x），
當(dāng)x∈[-2，0）時，f（x）的最小值為-$\frac{1}{2}$，
當(dāng)x∈[-4，-2）時，f（x）的最小值為-$\frac{1}{4}$，
若x∈[-4，-2]時，f（x）≥$\frac{{t}^{2}}{4}$-t+$\frac{1}{2}$恒成立，
∴$-\frac{1}{4}$≥$\frac{{t}^{2}}{4}$-t+$\frac{1}{2}$恒成立．
即t²-4t+3≤0，
即（t-3）（t-1）≤0，
即1≤t≤3，
即t∈[1，3]，
故選：B．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，函數(shù)的最值，一元二次不等式的解法，難度較大．