Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax²-x+lnx（a∈R，a≠0）
（Ⅰ）當a=2時，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若在區(qū)間[1，+∞）上函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=ax下方，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）把a=2代入函數(shù)解析式，求出f（1）的值，求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到f′（1）的值，然后由直線方程的點斜式求切線方程；
（Ⅱ）構造輔助函數(shù)g（x）=f（x）-ax，把在區(qū)間[1，+∞）上函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=ax下方轉(zhuǎn)化為
在[1，+∞）上g（x）_max＜0恒成立．求出函數(shù)g（x）的導函數(shù)，得到導函數(shù)的零點，由導函數(shù)的零點對定義域分段，然后對a分類討論，由導數(shù)得到函數(shù)g（x）在各區(qū)間段內(nèi)的最大值，由最大值小于0求解a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為（0，+∞）．
當a=2時，f（x）=x²-x+lnx，f′(x)=2x-1+

1

x

．
∴f（1）=0，f′（1）=2．
∴曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=2（x-1），
即2x-y-2=0；
（Ⅱ）令g(x)=f(x)-ax=

1

2

ax2-x+lnx-ax，定義域為（0，+∞），
在區(qū)間[1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=ax下方，
等價于g（0）＜0在[1，+∞）上恒成立．
∴只要在[1，+∞）上g（x）_max＜0恒成立．
∵g′(x)=ax-1+

1

x

-a=

(ax-1)(x-1)

x

，
由g′（x）=0，得x1=1，x2=

1

a

．
當0＜a≤1時，x1=1≤x2=

1

a

，g（x）在(

1

a

，+∞)上單調(diào)遞增，
并且在該區(qū)間上g（x）∈（g（x₂），+∞），不可能有g（x）_max＜0，不合題意．
當a＞1時，x2=

1

a

＜x1=1，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
并且在該區(qū)間上g（x）∈[g（1），+∞），不可能有g（x）_max＜0，不合題意．
當a＜0時，x2=

1

a

＜0，x1=1，g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
g(x)max=g(1)=

1

2

a-1+0-a＜0，解得-2＜a＜0．
綜上，a∈（-2，0）時，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=ax下方．

點評：本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，函數(shù)在曲線上某點處的導數(shù)，就是曲線過該點的切線的斜率，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學思想方法，屬有一定難度題目．