Question

11．已知函數(shù)y=f（x）為R上可導函數(shù)，且對?x∈R都有f（x）=-x³f′（1）-8x成立，則函數(shù)y=f（x），x∈[-1，1]的值域為[-6，6]．

Answer 1

分析 設(shè)t=2x則x=$\frac{1}{2}$t，代入f（2x）=x³f′（1）-10x化簡，把t換成x求出f（x）的解析式，由求導公式求出f′（x），令x=1代入列出方程求出f′（1），代入f′（x）并判斷符號，從而得到函數(shù)f（x）在[-1，1]上的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，即可求出函數(shù)的值域．

解答 解：設(shè)t=2x，則x=$\frac{1}{2}$t，代入f（2x）=x³f′（1）-10x得，
y=$\frac{1}{8}$t³f′（1）-5t，則f（x）=$\frac{1}{8}$t³f′（1）-5x，
所以f′（x）=$\frac{3}{8}$x²f′（1）-5，
令x=1代入上式可得，f′（1）=f′（1）-5，解得f′（1）=-8，
所以f（x）=-x³-5x，則f′（x）=-3x²-5＜0，
則函數(shù)f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，
當x=-1時，函數(shù)f（x）取到最大值f（-1）=6，
當x=1時，函數(shù)f（x）取到最小值f（1）=-6，
所以所求的函數(shù)值域是[-6，6]．

點評 本題考查求導公式，導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，以及換元法求函數(shù)的解析式，屬于中檔題．