Question

1．如圖，在五面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD的對角線的交點，△ABF是等邊三角形，棱EF∥BC，且EF=$\frac{1}{2}$BC．
（1）證明：EO∥平面ABF；
（2）若有OF⊥平面ABE，試求$\frac{BC}{CD}$的值．

Answer 1

分析 （1）通過證平行四邊形證線線平行，再由線線平行證明線面平行即可；
（2）若有OF⊥平面ABE，則OF⊥EM，四邊形EFMO為菱形，進而得到答案．本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的性質(zhì)，難度中檔．

解答 證明：（1）證明：取AB的中點M，連接FM，OM，

∵O為矩形ABCD的對角線的交點，
∴OM∥BC，且OM=$\frac{1}{2}$BC，
又EF∥BC，且EF=$\frac{1}{2}$BC，
∴OM=EF，且EF∥OM，
∴四邊形EFMO為平行四邊形，
∴EO∥FM，
又∵FM?平面ABF，EO?平面ABF，
∴EO∥平面ABF．
（2）∵OF⊥平面ABE，EM?平面ABE，
∴OF⊥EM，
則四邊形EFMO為菱形，
則FM=OM=$\frac{1}{2}$BC，
又∵△ABF是等邊三角形，
∴FM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD，
故$\frac{BC}{CD}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的性質(zhì)，難度中檔．