Question

12．若{an}為等比例函數(shù)，a₅=8a₂，a₃=16，則數(shù)列{$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{3}{a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{n}{2n+4}$log₃2．

Answer 1

分析 通過(guò)設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，利用a₃=16及a₅=8a₂計(jì)算可知q=2，進(jìn)而裂項(xiàng)可知$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{3}{a}_{n+1}}$=log₃2（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵a₃=16，
∴a₂=$\frac{{a}_{3}}{q}$=$\frac{16}{q}$，a₅=q²a₃=16q²，
又∵a₅=8a₂，
∴16q²=8×$\frac{16}{q}$，
整理得：q³=8，即q=2，
∴a_n=q^n-3×a₃=2^n-3×16=2ⁿ⁺¹，
∴$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{3}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{lo{g}_{2}{2}^{n+1}}$•$\frac{1}{lo{g}_{3}{2}^{n+2}}$=log₃2（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴數(shù)列{$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{3}{a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和為log₃2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=log₃2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{n}{2n+4}$log₃2，
故答案為：$\frac{n}{2n+4}$log₃2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，利用裂項(xiàng)相消法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．