Question

18．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=2AB=AP，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點．
（1）求證：BE∥平面PAD； 
（2）求異面直線PD與BC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明BE∥平面PAD．
（2）求出$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{BC}$=（1，2，0），由此利用向量法能求出異面直線PD與BC所成角的余弦值．

解答 證明：（1）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，
設CD=AD=2AB=AP=2，
則B（1，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（1，1，1），
$\overrightarrow{BE}$=（0，1，1），
∵平面PAD的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{n}$=0，
∵BE?平面PAD，∴BE∥平面PAD．
解：（2）D（0，2，0），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{BC}$=（1，2，0），
設異面直線PD與BC所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{BC}|}{|\overrightarrow{PD}|•|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{|4|}{\sqrt{8}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
所以異面直線PD與BC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．