Question

10．研究表明：提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時(shí)）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)，當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為v（x）=0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)；當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車流速度v（x）是車流密度x的一次函數(shù)．
（1）當(dāng)0≤x≤200時(shí)，求函數(shù)v（x）的表達(dá)式．
（2）設(shè)車流量f（x）=v（x）•x，求當(dāng)車流密度為多少時(shí)，車流量最大？

Answer 1

分析 （1）設(shè)v（x）=ax+b．利用x的范圍，列出方程組求解a，b，即可得到函數(shù)的解析式．
（2）求出車流量f（x）=v（x）•x的表達(dá)式，然后求解最大值即可．

解答 解：（1）由題意，得當(dāng)0≤x≤20時(shí)，v（x）=60；
當(dāng)20≤x≤200時(shí)，
設(shè)v（x）=ax+b．
由已知$\left\{\begin{array}{l}200a+b=0\\ 20a+b=60\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{3}\\ b=\frac{200}{3}\end{array}\right.$，
故函數(shù)v（x）的表達(dá)式為v（x）=$\left\{\begin{array}{l}60，0≤x≤20\\ \frac{1}{3}（200-x），20＜x≤200\end{array}\right.$
（2）$f（x）=v（x）•x=\left\{\begin{array}{l}60x，0≤x≤20\\-\frac{1}{3}{（x-100）^2}+\frac{10000}{3}，20＜x≤200\end{array}\right.$，
當(dāng)0≤x≤20時(shí)，f（x）1200．
當(dāng)20＜x≤200時(shí)，$-\frac{1}{3}{（x-100）}^{2}+\frac{10000}{3}≤\frac{10000}{3}$．
所以$f{（x）_{max}}=f（100）=\frac{10000}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)以及最值的求法，分段函數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．