【題目】在直角坐標(biāo)系中,以為極點,軸為正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知曲線的極坐標(biāo)方程為 ,直線與曲線相交于兩點,直線過定點且傾斜角為交曲線于兩點.
(1)把曲線化成直角坐標(biāo)方程,并求的值;
(2)若成等比數(shù)列,求直線的傾斜角.
【答案】(1) 答案見解析 (2) 或
【解析】
(1)將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程可得C的直角坐標(biāo)方程為聯(lián)立直線方程確定MN的長度即可;
(2)聯(lián)立直線的參數(shù)方程和C的直角坐標(biāo)方程可得,結(jié)合韋達(dá)定理可知 .據(jù)此得到關(guān)于的三角方程,解方程即可確定直線的傾斜角.
(1)得,即
曲線的直角坐方程為,
直線為,代入,得.
(2)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),代入得:
,即 恒成立.
設(shè)兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為.
.
由于成等比數(shù)列,,從而
或.
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【題目】已知橢圓的左、右焦點為F1,F2,離心率為,且點在橢圓上.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線l過點M(0,﹣2)且與橢圓C相交于A,B兩點,且△OAB(O為坐標(biāo)原點)的面積為,求出直線l的方程.
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【題目】我國的“洋垃極禁止入境”政策已實施一年多某沿海地區(qū)的海岸線為一段圓弧AB,對應(yīng)的圓心角,該地區(qū)為打擊洋垃圾走私,在海岸線外側(cè)20海里內(nèi)的海域ABCD對不明船只進(jìn)行識別查證如圖:其中海域與陸地近似看作在同一平面內(nèi)在圓弧的兩端點A,B分別建有監(jiān)測站,A與B之間的直線距離為100海里.
求海域ABCD的面積;
現(xiàn)海上P點處有一艘不明船只,在A點測得其距A點40海里,在B點測得其距B點海里判斷這艘不明船只是否進(jìn)入了海域ABCD?請說明理由.
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【題目】人造地球衛(wèi)星繞地球運行遵循開普勒行星運動定律:如圖,衛(wèi)星在以地球的中心為焦點的橢圓軌道上繞地球運行時,其運行速度是變化的,速度的變化服從面積守恒規(guī)律,即衛(wèi)星的向徑(衛(wèi)星與地心的連線)在相同的時間內(nèi)掃過的面積相等設(shè)該橢圓的長軸長、焦距分別為,.某同學(xué)根據(jù)所學(xué)知識,得到下列結(jié)論:
①衛(wèi)星向徑的取值范圍是
②衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大,橢圓軌道越扁
③衛(wèi)星在左半橢圓弧的運行時間大于其在右半橢圓弧的運行時間
④衛(wèi)星運行速度在近地點時最小,在遠(yuǎn)地點時最大
其中正確的結(jié)論是( )
A.①②B.①③C.②④D.①③④
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【題目】已知F1,F2是橢圓與雙曲線的公共焦點,P是它們的一個公共點,且|PF1|<|PF2|,線段PF1的垂直平分線經(jīng)過點F2,若橢圓的離心率為e1,雙曲線的離心率為e2,則的最小值為( )
A.2B.﹣2C.6D.﹣6
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【題目】卵形線是常見曲線的一種,分笛卡爾卵形線和卡西尼卵形線,卡西尼卵形線是平面內(nèi)與兩個定點(叫焦點)的距離之積等于常數(shù)的點的軌跡.某同學(xué)類比橢圓與雙曲線對卡西尼卵形線進(jìn)行了相關(guān)性質(zhì)的探究,設(shè)F1(﹣c,0),F2(c,0)是平面內(nèi)的兩個定點,|PF1||PF2|=a2(a是常數(shù)).得出卡西尼卵形線的相關(guān)結(jié)論:①該曲線既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形;②若a=c,則曲線過原點;③若0<a<c,其軌跡為線段.其中正確命題的序號是_____.
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【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時,若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與軸交于, 兩點,其橫坐標(biāo)分別為, ,線段的中點的橫坐標(biāo)為,且, 恰為函數(shù)的零點,求證: .
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【題目】已知為等差數(shù)列,前項和為,是首項為的等比數(shù)列,且公比大于,,,.
(1)求和的通項公式;
(2)求數(shù)列的前項和;
(3)設(shè),為數(shù)列的前項和,求不超過的最大整數(shù).
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【題目】設(shè)函數(shù).
當(dāng)時,求的極值;
若的定義域為,判斷是否存在極值若存在,試求a的取值范圍;否則,請說明理由.
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